Senin, 20 April 2009

Pengertian Himpunan

Pengantar Teori Himpunan

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. Gerorg Cantor dianggap sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).

Notasi

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”. Sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y dansebagainya. Perlu diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya

sekali saja Jadi tidak boleh kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian pula kita tidak boleh menyatakan himpunan sebagai {bunga, kambing, sapi, kerbau, sapi, tumbuhan}. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “E” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang “E” (baca: bukan anggota).

Pendefinisian Himpunan

Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :

1. Mendaftarkan semua anggotanya.

Contoh:
- A = {a,e,i,o,u}
- B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh:
- A = Himpunan vokal dalam abjad latin
- B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

3. Menyatakan sifat dengan pola

Contoh:
- P = {0,2,4,8,10,…,48}
- Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

Awas dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini bukan merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.

4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh:
- P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})
- Q = { t | t biangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}
- R = { s |
-1=0, s bilangan real}
(Maksudnya R = {-1,1})

Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan.
Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.
Contoh :

Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½,
… maka semesta pembicaraan kita adalah bilangan real. Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya. Pada contoh di atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan bulat) sebagai semesta pembicaraan. (Mengapa?).

Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan dengan O atau { }
Contoh:

- Himpunan bilangan bulat yang ganjil
- Himpunan bilangan real
- Himpunan orang yang tingginya 100 meter

Himpunan Bagian

Diberikan himpunan A dan B. Jika setiap anggota A merupakan anggota B maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan AcB.
Jadi AcB jika dan hanya jika

x
EA => xEB

Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B maka A bukan bukan himpunan
bagian dari B, dilambangkan dengan AcB.
Contoh:

- A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka AcB.
- C = {a,b,c,1,2} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka CcB, karena ada anggota dari C yang bukan merupakan anggota B, yaitu a. (Pengertian “ada” berarti terdapat satu anggota C yang bukan merupakan anggota B, sudah cukup)

- Suatu himpunan pasti merupakan subset dirinya sendiri. Jadi HcH.
Bukti:

Ambil sebarang hE
H, maka jelas hEH. Jadi HcH.

- Himpunan kosong (O) merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.
Bukti:

Kalimat “x
EA => xEB” pada pengertian himpunan bagian (lihat definisi di atas), selalu bernilai benar jika diambil A = O dan untuk sebarang himpunan B. Hal ini disebabkan syarat cukupnya selalu tidak terpenuhi. Sama saja dengan kita mengatakan “jika bulan bisa ngomong, maka dia tak akan bohong”. Kalimat ini selalu bernilai benar karena syarat cukupnya
yaitu “bulan bisa ngomong” selalu tidak terpenuhi. Lebih lanjut mengenai hal ini akan dibicarakan dalam pembahasan mengenai LOGIKA.

Operasi Himpunan

Gabungan (Union)
Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan AuB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B. Jadi AuB = { x | xE
A atau xE B }
Contoh:

A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka AuB = {a,b,c,d,e,f,1,2}

Irisan (Intersection)
Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan AnB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.
Jadi AnB = { x | x
E A dan x E B }
Contoh:

A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka AnB = {c}
P = {a,b,c,1,2} dan Q = {d,e,f}. Maka AnB = O

Komplemen
Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac “ adalah himpunan yang anggotanya berada dalam hiompunan semesta tetapi bukan berada di A. Jadi Ac = { x | x
ES, xE A }
Contoh:

Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = {0,2,4,6,…} maka Ac = {1,3,5,…}

Sifat-sifat operasi

Komutatif
Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku AuB = BuA dan juga AnB = BnA

Asosiatif

Diberikan himpunan A, B dan C.
Maka berlaku (AuB)uC = Au(BuC) dan juga (AnB)nC= An(BnC).

Idempoten

Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku AuA=A dan juga AnA=
A

Identitas

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka AuS=A dan juga AnS=A

Distributif
Diberikan himpunan A,B dan C.
Maka Au(BnC) = (AuB)n(AuC) dan juga An(BuC)=(AnB)u(AnC)

Komplementer

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka AuAc = S dan AnAc =O

Dalil De Morgan
Diberikan himpunan A dan B. Maka (AuB) c = Acn Bc dan (AnB) c = Acu Bc

SKEMA HIMPUNAN BILANGAN
  1. Himpunan bilangan asli
    Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

    N = {1,2,3,4,5,6,......}

  2. Himpunan bilangan prima
    Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

    P = {2,3,5,7,11,13,....}

  3. Himpunan bilangan cacah
    Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

    C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

  4. Himpunan bilangan bulat
    Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

    B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

  5. Himpunan bilangan rasional
    Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
    p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

    contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

  6. Himpunan bilangan irasional
    Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

    contoh: log 2, e, Ö7

  7. Himpunan bilangan riil
    Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

    contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3

  8. Himpunan bilangan imajiner
    Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

    contoh: i, 4i, 5i

  9. Himpunan bilangan kompleks
    Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

    contoh: 2-3i, 8+2




Tidak ada komentar:

Poskan Komentar